摘 要: 在大數(shù)據(jù)的時(shí)代背景下，電子商務(wù)獲得了蓬勃的發(fā)展，競(jìng)爭(zhēng)的激烈程度也愈演愈烈，導(dǎo)致電子商務(wù)在競(jìng)爭(zhēng)資源的同時(shí)，也不斷呈現(xiàn)出合作的態(tài)勢(shì)。構(gòu)建了電子商務(wù)網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)模型，對(duì)模型進(jìn)行平衡點(diǎn)分析，并通過(guò)matlab進(jìn)行數(shù)值模擬。

 

　　關(guān)鍵詞: 電子商務(wù);協(xié)作競(jìng)爭(zhēng);常微分方程;數(shù)值模擬

　　隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，電子商務(wù)獲得了蓬勃的發(fā)展，同傳統(tǒng)商務(wù)相比，電子商務(wù)具有低成本，信息化效率高等優(yōu)勢(shì)。因此，為爭(zhēng)奪電子商務(wù)市場(chǎng)潛在的巨額利潤(rùn)，阿里巴巴，京東商城等各電子商務(wù)網(wǎng)站相繼成立。但是從電子商務(wù)的發(fā)展來(lái)看，市場(chǎng)上極少數(shù)的電子商務(wù)網(wǎng)站占據(jù)著絕大多數(shù)的用戶，即電子商務(wù)網(wǎng)站市場(chǎng)存在霸主現(xiàn)象。由于用戶數(shù)與網(wǎng)站的生存密切相關(guān)，因此，對(duì)大多數(shù)網(wǎng)站而言，重要的是如何能在激烈市場(chǎng)上吸引更多的用戶數(shù)。文獻(xiàn)[1]用 Lotka-Volterra 模型描述互聯(lián)網(wǎng)的競(jìng)爭(zhēng)模型，建立了如下網(wǎng)站競(jìng)爭(zhēng)模型： dxi dt = αixi (βi - xi )-∑ j ≠ i γij xixj ，i = 1,2,…,n (1)其中 αi > 0 ，0 < βi < 1 ，γij > 0 。這里的 xi 是網(wǎng)站 i 的用戶比率，表示 i 網(wǎng)站的用戶量在同類用戶群中所占比率。影響 xi 的因素主要有2個(gè)部分：當(dāng)無(wú)其它網(wǎng)站競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，xi 以增長(zhǎng)系數(shù) αi 增長(zhǎng)，最終達(dá)到其最大容量 βi ;當(dāng)有其它網(wǎng)站競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，xixj 表示同時(shí)使用網(wǎng)站 i 和 j 的用戶比率。 γij xixj 表示由于網(wǎng)站 j 的影響，放棄網(wǎng)站 i 的用戶比率。

　　文獻(xiàn)[2-3]根據(jù)電子商務(wù)經(jīng)濟(jì)“強(qiáng)者愈強(qiáng)”的馬太效應(yīng)，對(duì)文獻(xiàn)[1]模型進(jìn)行了修改，并分析了兩個(gè)相同網(wǎng)站的競(jìng)爭(zhēng)情況，此時(shí) α = αi ，β = βi ，γ = γij ， ω = ωij(i,j = 1,2) 。其模型為： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)- γ(1 + ω(x2 - x1))x1 x2 dx2 dt = αx2(β - x2)- γ(1 + ω(x1 - x2))x1 x2 (2)其中 α > 0，0 < β < 1，0 < ω < γ ，xi ≥ 0 。模型(2)同模型(1)相比，增加了 ω (xj - xi ) 項(xiàng)，其作用是體現(xiàn)電子商務(wù)網(wǎng)站的“強(qiáng)者更強(qiáng)”的特性。另一方面，文獻(xiàn)[4]基于一系列實(shí)際觀測(cè)到的生態(tài)現(xiàn)象，提出了一類兩種群協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)模型。考慮網(wǎng)站之間也會(huì)存在一定的協(xié)作關(guān)系，用 γxixj 表示由于網(wǎng)站 j 的影響，選擇網(wǎng)站 i 的用戶比率。因此，建立如下的電子商務(wù)網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)模型： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 ≡ P(x1,x2) dx2 dt = αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 ≡ Q(x1,x2) (3)其中 α >0，0 < ω < γ ，0 < β < 1，x1 ≥ 0 ，x2 ≥ 0 。通過(guò)對(duì)模型(3)平衡點(diǎn)的分析以及相應(yīng)的數(shù)值模擬驗(yàn)證，說(shuō)明該電子商務(wù)網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)模型的可行性。

　　1 平衡點(diǎn)的分析

　　基于系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)意義，只需在區(qū)域 Gˉ={(x1, x2)|0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1} 上討論。由{αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 = 0 αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 = 0 可得：當(dāng) 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，方程的有 6 個(gè)奇點(diǎn) ： A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ)，E(u,v)，F(xiàn)(v,u) ;當(dāng) α γ > βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，這時(shí) E, F 不存在, 方程 有 4 個(gè) 奇 點(diǎn) ：A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ) ;當(dāng) α γ = βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，D,E,F 共點(diǎn)。其中 u = α + γ + γ2 - α2 + 2αβγω 2γω ， v = α + γ - γ2 - α2 + 2αβγω 2γω 。分析各奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。奇點(diǎn)的穩(wěn)定性可通過(guò)下面的行列式對(duì)應(yīng)的特征值進(jìn)行分析。記J(x,y)= é ë ê ù û ú αβ - 2αx1 + γx2 + 2γωx1 x2 - γωx2 2 γx1 + γωx1 2 - 2γωx1 x2 γx2 + γωx2 2 - 2γωx1 x2 αβ - 2αx2 + γx1 + 2γωx1 x2 - γωx1 2 則： det J(0,0)= α2 β2 , tr J(0,0)= 2αβ ， det J(β,0)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(β,0)= γβ(1 - ωβ)， det J(0,β)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(0,β)= γβ(1 - ωβ)， det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= x2 1 (α2 - γ2 - 2αβγω), tr J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 2αx1 βγω -(α - γ) α - γ ， det J(u,v)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(u,v)= -αβ， det J(v,u)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(v,u)= -αβ，

　　(1)因?yàn)?det J(0,0)> 0, tr J(0,0)> 0 ，所以 A(0,0) 為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

　　(2)因 為 0 < β < 1 ，0 < ω < 1 ，得 出 -αβ2 (α + γ (1 - βω))< 0 ，這時(shí) det J(β,0)< 0 ，det J(0,β)< 0 ，所以 B(β,0) 與 C(0,β) 都是鞍點(diǎn)。

　　(3)當(dāng) 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1時(shí)，α2 - γ2 - 2αβγω < 0 ，這 時(shí) det J( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0 ，所 以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為鞍點(diǎn)。當(dāng) α γ > βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，α2 - γ2 - 2αβγω > 0 ， βγω -(α - γ)< 0，這 時(shí) ，det J( αβ α - γ, αβ α - γ)> 0, tr J ( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0，所以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

　　(4)當(dāng) 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，E, F 存在。此時(shí) γ2 - α2 + 2αβγω > 0 ，可得：det J(u, v)> 0, tr J(v, u) < 0, det J(v,u)> 0, tr J(v,u)< 0 ，所以 E(u,v) 和 F(v,u) 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

　　(5)當(dāng) α γ = βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，因?yàn)?det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 0，所以 E, F 與 D 重合為高次奇點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。討論高次奇點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。作變換 xˉ1 = x1 - αβ α - γ ，xˉ2 = x2 - αβ α - γ ，仍以 x1 , ì í î ï ï ï ï dx1 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x1 - x2)- αx1 2 + γxx2 - x1 2 x2 - x1 x2 2 - αβ α - γ x1 2 - αβ α - γ x2 2 - 2αβ α - γ x1 x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x2 - x1)- αx2 2 + γx1 x2 + x1 2 x2 + x1 x2 2 + αβ α - γ x1 2 + αβ α - γ x2 2 + 2αβ α - γ x1 x2 (4) ì í î ïï ïï dx1 dt = -α(x1 - x2) 3 - αx2 2 + 2γ(x1 - x2)x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(2x2 - x1)- αx2 2 + γ(x1 - x2)x2 +(x1 - x2) 2 x2 +(x1 - x2)x2 2 + αβ α - γ x 2 (5) ì í î ïï ïï dx1 dt = γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x1 2 - γ + α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x2 2 dx2 dt = x2 + Q(x1,x2) (6)再做變換 ξ = x1 + x2 ，η = x2 仍以 x1 , x2 表示 ξ,η ，則系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為: 再做變換 xˉ1 = x1 ，xˉ2 = 2x2 - x1 ，τ = 2αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω) ，仍以 x1 , x2 , t 表示 xˉ1 , xˉ2 , τ ，則系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為：其中 Q(x,y) 為不低于二次的多項(xiàng)式。這時(shí)因?yàn)?-γ2 + αγ + αβγω = γ(α - γ)+ αβγω < 0 ， 所以 γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) < 0 ，m = 2 為偶數(shù)。

　　x2 表示 xˉ1 , xˉ2 ，則系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為：根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知，D( αβ α - γ, αβ α - γ) 為鞍結(jié)點(diǎn)，且包含正 x 軸。根據(jù)以上分析，可得：

　　(1)當(dāng) α γ > βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，系統(tǒng)(3)有4個(gè)奇點(diǎn)：不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) A(0,0) ，鞍點(diǎn) B(β,0) ，鞍點(diǎn) C(0,β) ，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。

　　(2)當(dāng) 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，系統(tǒng)(3)有6個(gè)奇點(diǎn)：不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) A(0,0) ，鞍點(diǎn) B(β,0) ，鞍點(diǎn) C(0,β) ，鞍點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) E(u,v)和F(v,u)。

　　(3)當(dāng) α γ = βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，系統(tǒng)(3)有4個(gè)奇點(diǎn)：不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) A(0,0) ，鞍點(diǎn) B(β,0) ，鞍點(diǎn) C(0,β) ，鞍結(jié)點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。

　　2 數(shù)值模擬

　　以下通過(guò)具體的模型來(lái)驗(yàn)證定理的可行性。例1 考慮如下系統(tǒng): ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.4 - x1)+ 0.5x1 x2 - 0.15(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.4 - x2)+ 0.5x2 x1 - 0.15(x1 - x2)x1 x2 (7)這里相對(duì)于系統(tǒng)(3)，α = 1 ，γ = 0.5 ，ω = 0.3 ， β = 0.4 ，這時(shí) α γ = 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 1.1272 ，滿足條件 α γ > βω + β2 ω2 + 1 。所以系統(tǒng)(7)存在穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.8,0.8) 。圖 1 是系統(tǒng)(7)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數(shù)值模擬圖。

　　例2 考慮如下系統(tǒng): ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.5 - x1)+ 2x1 x2 - 3(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.5 - x2)+ 2x2 x1 - 3(x1 - x2)x1 x2 (8)這里相對(duì)于系統(tǒng)(3)，α = 1 ，γ = 2 ，ω = 1.5 ， β = 0.5 ，這時(shí) α γ = 0.5 ，βω + β2 ω2 + 1 = 2 ，滿足條件 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 。所以系統(tǒng)(8)存在穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) E(u,v)=(0.9，0.09) 。圖 2 是系統(tǒng)(8)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數(shù)值模擬圖。

　　例3 考慮如下系統(tǒng): ì í î ïï ïï dx1 dt = 3x1( 1 4 - x1)+ 2x1 x2 - 10 3 (x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = 3x2( 1 4 - x2)+ 2x2 x1 - 10 3 (x1 - x2)x1 x2 (9)這里相對(duì)于系統(tǒng)(3)，α = 3 ，γ = 2 ，ω = 5 3 ， β = 1 4 ，這時(shí) α γ = 3 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 3 2 ，滿足條件 α γ = βω + β2 ω2 + 1。所 以 系 統(tǒng) (9) 存 在 鞍 結(jié) 點(diǎn) D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.75,0.75) 。圖 3 是系統(tǒng)(9)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的數(shù)值模擬圖。

　　3 總結(jié)

　　根據(jù)平衡點(diǎn)的分析，以及例題所示，當(dāng)兩個(gè)實(shí)力相同網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，其結(jié)果為：

　　(1)當(dāng) α γ ≥ βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)呈現(xiàn)為強(qiáng)協(xié)作弱競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)系，結(jié)果是兩個(gè)網(wǎng)站最終的市場(chǎng)占有率相同。

　　(2)當(dāng) 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 時(shí)，網(wǎng)站協(xié)作競(jìng)爭(zhēng)呈現(xiàn)為強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)弱協(xié)作的關(guān)系，結(jié)果是開(kāi)始時(shí)用戶量大的網(wǎng)站占有了更多的用戶量，并最終維持在較高占有率;開(kāi)始時(shí)用戶量少的網(wǎng)站失去了一定量的用戶量，并最終維持在較低的占有率。

　　參考文獻(xiàn)

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