摘要:主要探討了GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法,對兩種不同的轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行了數(shù)值穩(wěn)定性和精度分析,結(jié)果表明:空間七參數(shù)轉(zhuǎn)換方法可適用于大范圍的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,但方程經(jīng)常病態(tài),穩(wěn)定性差,平面相似變換法方程相對穩(wěn)定,但只適用于小范圍的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。
　　關(guān)鍵詞:GPS 技術(shù),坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,方程穩(wěn)定性,精度
　　0.引言
　　GPS技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到各種測量中,并可得到高精度的兩點間的基線向量,如果已知某點的高精度空間坐標(biāo)或者和IGS站連測,就可以得到各個控制點的高精度空間坐標(biāo)。由于GPS得到的是基于WGS84坐標(biāo)框架下的坐標(biāo),而有時我們需要的是北京54坐標(biāo)、西安80坐標(biāo)或者其他坐標(biāo),因此坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是我們經(jīng)常遇到的一個問題,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換包含兩個方面的內(nèi)容,即坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度和穩(wěn)定性一直是此項工作的關(guān)鍵。
　　本文主要探討了將GPS測得的WGS84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到國家坐標(biāo)系(如54坐標(biāo)系或80坐標(biāo)系)和獨立坐標(biāo)系的算法。通過實際數(shù)據(jù),定性的分析了空間轉(zhuǎn)換方法和平面轉(zhuǎn)換方法的精度和穩(wěn)定性。
　　1.原理與方法
　　布爾沙模型是空間七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換常用的數(shù)學(xué)模型,其表示如下:
　　
　　其中,下標(biāo)1,2分別表示兩個不同坐標(biāo)基準(zhǔn)下的空間直角坐標(biāo);ΔX,ΔY和ΔZ為三個平移參數(shù);δu為尺度參數(shù);εX,εY和εZ為三個旋轉(zhuǎn)歐拉角。在實際計算過程中,由于所計算的轉(zhuǎn)換參數(shù)為7個,所以至少應(yīng)當(dāng)有3個重合點。若有n(n≥3)個重合點,則應(yīng)有3n個誤差方程,其誤差方程式為:
　　
　　則可得轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解:
　　X=(ATA)-1ATL(3)
　　需要注意的是由式(3)計算所得到的轉(zhuǎn)換參數(shù),一般平移參數(shù)為幾十米到數(shù)百米,尺度參數(shù)量級約為10-6,而旋轉(zhuǎn)參數(shù)約為10-5量級甚至更小,點的空間坐標(biāo)的量級約為106,其差別較大。
　　在實際計算過程中,為改善參數(shù)計算精度、提高方程的穩(wěn)定性、防止計算誤差累積,需對轉(zhuǎn)換參數(shù)的單位進(jìn)行換算,一般旋轉(zhuǎn)參數(shù)以秒為單位,尺度參數(shù)以ppm為單位。
　　2.平面相似變換模型
　　坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換也可以通過平面相似變換的方法實現(xiàn),其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型如下:
　　
　　其中,下標(biāo)1,2分別表示兩個不同坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo);Δx和Δy為兩個平移參數(shù);δu為尺度參數(shù)。由式(4)可知,為解得轉(zhuǎn)換參數(shù),至少應(yīng)當(dāng)有兩個重合點,當(dāng)有多余兩個重合點時,可采用最小二乘的方法得到轉(zhuǎn)換參數(shù),若有n(n≥2)個重合點,則可以列立2n個誤差方程式,其矩陣形式如下:
　　
　　需要注意的是利用平面相似變換進(jìn)行坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換時,要使用相同的投影高程基準(zhǔn)面和相同的中央子午線經(jīng)度,也就是將大地坐標(biāo)或空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為平面坐標(biāo)時,要選擇相同的投影面,這樣可以提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。
　　3.方程穩(wěn)定性分析
　　對于坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換方法,如果測區(qū)范圍太小,重合點分布不均勻往往會引起轉(zhuǎn)換參數(shù)強(qiáng)相關(guān),進(jìn)而造成誤差方程式(2),式(5)病態(tài)。重合點微小的測量誤差都會導(dǎo)致轉(zhuǎn)換參數(shù)有很大的誤差。如果誤差方程式(2)和式(5)是病態(tài)的,則系數(shù)矩陣A的特征值單調(diào)地趨向于0,最小二乘方法無法得到滿意的參數(shù)估值,為了提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的解算精度,或者根據(jù)誤差方程的穩(wěn)定性來選擇不同的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法,需要分析所采用轉(zhuǎn)換方法的數(shù)值穩(wěn)定性,可對方程式(2)和式(5)中的系數(shù)矩陣A作SVD(SingularValueDecomposition)分解,即:
　　
　　如果觀測方程式(2)和式(5)是病態(tài)的,則由式(7)分解所得到的系數(shù)矩陣A的特征值中,最小的將趨向于0,而且最大和最小的特征值的比值非常大。通過本方法可以很好的判定方程的狀態(tài),進(jìn)而選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法和重合點,以期得到穩(wěn)定的參數(shù)估值,除此之外,法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)也是判定方程解穩(wěn)定性的指標(biāo)之一。
　　
　　本文采用某一區(qū)域的控制網(wǎng)數(shù)據(jù),選擇該控制網(wǎng)中均由GPS測得的WGS坐標(biāo)和北京坐標(biāo)的控制點為實驗數(shù)據(jù),共有7個點,其最遠(yuǎn)兩點間相距約20km。在實際計算過程中,我們可以根據(jù)已有重合點的數(shù)量和分布情況合理選擇坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。對于大區(qū)域的坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換只能用空間轉(zhuǎn)換方法,平面相似變換并不適合,但小區(qū)域轉(zhuǎn)換時,空間
　　轉(zhuǎn)換方法往往病態(tài)性比平面相似變換方法要嚴(yán)重。
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